Determine a derivada da função vetorial. r(t) = (t, cos(2t), sen(2t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial . Isso tá dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas de funções vetoriais. Pra resolver, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Então, se , então .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente de :
  1. Primeira componente:
    • A derivada de em relação a é 1, ou seja, .
  2. Segunda componente:
    • Usamos a regra da cadeia: a derivada de é multiplicado pela derivada de .
    • Aqui, , então .
    • Assim, .
  3. Terceira componente:
    • Também aplicamos a regra da cadeia: a derivada de é multiplicado pela derivada de .
    • Com , .
    • Então, .

Resposta

A derivada da função vetorial é .

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