Utilize o Teorema do Confronto para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)

Passo 1

Vamos resolver os limites usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é muito útil quando conseguimos “prender” a função que estamos analisando entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Assim, se as duas funções laterais convergem para o mesmo valor, a função no meio também vai. Nesse caso, vamos calcular dois limites usando as propriedades do cosseno e da função que está sendo multiplicada por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite (a):
Sabemos que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Multiplicando todos os termos por , que é positivo para qualquer x real, mantemos a desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite das funções nas extremidades quando x tende a 0:

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, já que as duas funções laterais convergem para 0, o limite da função do meio também é 0:

Passo 6

Agora, vamos resolver o limite (b):
Assim como antes, usaremos o Teorema do Confronto. Vamos primeiro entender os limites das funções que envolvem o cosseno e como elas interagem com as outras partes da expressão.

Passo 7

Sabemos que:

Passo 8

Aplicando essa desigualdade à expressão :

$ \frac{1}{2} \leq 2^{\cos\left(\frac{1}{x}\right)} \leq 2$

Passo 9

Multiplicando todos os termos por , que tende a 0 quando x tende a 0:

Passo 10

Calculando os limites das funções laterais:

Passo 11

Pelo Teorema do Confronto, já que as duas funções laterais convergem para 0, o limite da função do meio também é 0:

Resposta

O limite é 0.

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