Utilize o Teorema do Confronto para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver os limites usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é muito útil quando conseguimos “prender” a função que estamos analisando entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Assim, se as duas funções laterais convergem para o mesmo valor, a função no meio também vai. Nesse caso, vamos calcular dois limites usando as propriedades do cosseno e da função que está sendo multiplicada por ele.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite (a):
Sabemos que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Multiplicando todos os termos por
, que é positivo para qualquer x real, mantemos a desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite das funções nas extremidades quando x tende a 0:
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, já que as duas funções laterais convergem para 0, o limite da função do meio também é 0:
Passo 6
Agora, vamos resolver o limite (b):
Assim como antes, usaremos o Teorema do Confronto. Vamos primeiro entender os limites das funções que envolvem o cosseno e como elas interagem com as outras partes da expressão.
Passo 7
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando essa desigualdade à expressão
:
$ \frac{1}{2} \leq 2^{\cos\left(\frac{1}{x}\right)} \leq 2$
$ \frac{1}{2} \leq 2^{\cos\left(\frac{1}{x}\right)} \leq 2$
Passo 9
Multiplicando todos os termos por
, que tende a 0 quando x tende a 0:
Passo 10
Calculando os limites das funções laterais:
Passo 11
Pelo Teorema do Confronto, já que as duas funções laterais convergem para 0, o limite da função do meio também é 0:
Resposta
O limite é 0.
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Determine os domínios das funções vetoriais abaixo:
.
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
;