Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou familiar)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a identidade trigonométrica:
O objetivo aqui é manipular essa identidade para obtermos uma nova identidade que seja familiar. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas definições básicas das funções trigonométricas e de como elas se relacionam umas com as outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções cotangente (
) e cossecante (
) em termos de seno e cosseno:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir as funções na identidade original e simplificar a equação.
Passo 3
Vamos substituir
e
na identidade dada:
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação.
Passo 4
Primeiro, somamos as frações no numerador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, dividindo as frações:
Então, temos:
Passo 6
Para simplificar, podemos dividir ambos os lados da equação por
(desde que
):
Isso implica que:
Passo 7
A solução
ocorre quando
, onde
é qualquer inteiro. Isso significa que a identidade original é válida apenas para esses valores específicos de
.
Resposta
A identidade
é válida quando
, ou seja, para
, onde
é qualquer número inteiro.
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