Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou familiar)
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a identidade trigonométrica:
O objetivo aqui é manipular essa identidade para obtermos uma nova identidade que seja familiar. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas definições básicas das funções trigonométricas e de como elas se relacionam umas com as outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções cotangente ( ) e cossecante ( ) em termos de seno e cosseno:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir as funções na identidade original e simplificar a equação.

Passo 3

Vamos substituir e na identidade dada:
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação.

Passo 4

Primeiro, somamos as frações no numerador:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, dividindo as frações:
Então, temos:

Passo 6

Para simplificar, podemos dividir ambos os lados da equação por (desde que ):
Isso implica que:

Passo 7

A solução ocorre quando , onde é qualquer inteiro. Isso significa que a identidade original é válida apenas para esses valores específicos de .

Resposta

A identidade é válida quando , ou seja, para , onde é qualquer número inteiro.

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