Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou familiar)
(a)
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a identidade trigonométrica
. Aqui, estamos trabalhando com as funções trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente. Para derivar essa identidade, vamos precisar conhecer as definições dessas funções em um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a tangente de um ângulo. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo
é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das definições do seno e do cosseno. O seno de um ângulo
é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
E o cosseno de
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
Passo 4
Para relacionar a tangente com o seno e o cosseno, vamos dividir a expressão do seno pela do cosseno:
Passo 5
Ao simplificar essa fração, as hipotenusas se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Determine a derivada de cada função a seguir:
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