Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou familiar)
(a)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a identidade trigonométrica . Aqui, estamos trabalhando com as funções trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente. Para derivar essa identidade, vamos precisar conhecer as definições dessas funções em um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a tangente de um ângulo. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das definições do seno e do cosseno. O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
E o cosseno de é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Passo 4

Para relacionar a tangente com o seno e o cosseno, vamos dividir a expressão do seno pela do cosseno:

Passo 5

Ao simplificar essa fração, as hipotenusas se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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