Derive a equação de movimento para o sistema massa-mola e determine a solução geral para o deslocamento
. O que representa a frequência natura
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema massa-mola, que é basicamente uma massa ligada a uma mola. Precisamos derivar a equação de movimento desse sistema e encontrar a solução geral para o deslocamento
. Além disso, vamos explicar o que representa a frequência natural
. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton e um pouco de matemática envolvendo equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração (
). No nosso caso, a única força agindo na massa é a força da mola.
Passo 3
A força da mola pode ser descrita pela Lei de Hooke, que diz que a força da mola é proporcional e oposta ao deslocamento da mola:
, onde
é a constante da mola e
é o deslocamento.
Passo 4
Agora, igualamos as duas expressões para a força:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da massa.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial:
Aqui,
é um termo que vai nos ajudar a encontrar a solução.
Passo 6
A equação que temos agora é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções harmônicas. A solução geral para essa equação é:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.
Passo 7
A frequência natural
é definida como:
Ela representa a frequência com a qual o sistema massa-mola oscila naturalmente quando não há nenhuma força externa ou amortecimento atuando sobre ele.
Resposta
A solução geral para o deslocamento é:
onde
é a frequência natural do sistema, indicando a taxa de oscilações naturais da massa-mola sem influências externas.
Exercícios relacionados
Supondo um vetor de excitação
, obter a resposta dinâmica do sistema em regime permanente.
-
Uma barra de aço está acoplada à uma barra de latão e o conjunto está instalado entre duas paredes, submetidos à uma temperatura . Determine as reações de apoio quando a temperatura for . As propriedades dos materiais e devidas áreas estão abaixo.
Aço
Latão
Uma placa de
de espessura sofre uma redução sequencial para as seguintes espessuras (em mm): 0,5; 0,2; 0,1. Calcule a deformação linear no sentido da espessura da chapa em cada um dos três passes, utilizando:
a) Deformação de engenharia (deformação convencional)
a) Deformação de engenharia (deformação convencional)
Uma placa de
de espessura sofre uma redução sequencial para as seguintes espessuras (em mm): 0,5; 0,2; 0,1. Calcule a deformação linear no sentido da espessura da chapa em cada um dos três passes, utilizando:
b) Deformação verdadeira
b) Deformação verdadeira