Derive a equação de movimento para o sistema massa-mola e determine a solução geral para o deslocamento x(t). O que representa a frequência natura omegan ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema massa-mola, que é basicamente uma massa ligada a uma mola. Precisamos derivar a equação de movimento desse sistema e encontrar a solução geral para o deslocamento . Além disso, vamos explicar o que representa a frequência natural . Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton e um pouco de matemática envolvendo equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração ( ). No nosso caso, a única força agindo na massa é a força da mola.

Passo 3

A força da mola pode ser descrita pela Lei de Hooke, que diz que a força da mola é proporcional e oposta ao deslocamento da mola: , onde é a constante da mola e é o deslocamento.

Passo 4

Agora, igualamos as duas expressões para a força:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da massa.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial:
d^2xdt^2 + km cdot x = 0
Aqui, é um termo que vai nos ajudar a encontrar a solução.

Passo 6

A equação que temos agora é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções harmônicas. A solução geral para essa equação é:
x(t) = A cos(omegan t) + B sin(omegan t)
onde e são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.

Passo 7

A frequência natural omegan = raizkm é definida como:
Ela representa a frequência com a qual o sistema massa-mola oscila naturalmente quando não há nenhuma força externa ou amortecimento atuando sobre ele.

Resposta

A solução geral para o deslocamento é:
x(t) = A cos(omegan t) + B sin(omegan t)
onde é a frequência natural do sistema, indicando a taxa de oscilações naturais da massa-mola sem influências externas.

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