Supondo um vetor de excitação
, obter a resposta dinâmica do sistema em regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vetor de excitação que atua somente na direção z, dado por
. Nosso objetivo é encontrar a resposta dinâmica do sistema em regime permanente. Para isso, vamos precisar entender de dinâmica de sistemas vibratórios e aplicar conceitos como equações diferenciais e resposta em regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa resposta dinâmica em regime permanente. Isso se refere ao comportamento do sistema depois que as transientes morreram, ou seja, quando o sistema oscila com a mesma frequência da força aplicada
.
Passo 3
Vamos assumir que o sistema pode ser representado por uma equação diferencial linear, típica em sistemas massa-mola-amortecedor. A forma geral da equação é:
onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é o deslocamento, -
é a força aplicada.
Passo 4
No nosso caso, a força aplicada
está na direção z:
Então, a equação para a direção z fica:
Passo 5
Para resolver essa equação em regime permanente, assumimos uma solução particular da forma:
onde
é a amplitude da oscilação e
é a fase.
Passo 6
Substituímos
na equação diferencial:
Passo 7
Agrupando termos semelhantes, temos:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:
Passo 9
Resolvendo para
a partir da segunda equação:
E a amplitude
é:
Passo 10
Portanto, a resposta dinâmica do sistema em regime permanente na direção z é:
onde
.
Resposta
A resposta dinâmica do sistema em regime permanente é:
com
.
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