Supondo um vetor de excitação , obter a resposta dinâmica do sistema em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vetor de excitação que atua somente na direção z, dado por . Nosso objetivo é encontrar a resposta dinâmica do sistema em regime permanente. Para isso, vamos precisar entender de dinâmica de sistemas vibratórios e aplicar conceitos como equações diferenciais e resposta em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa resposta dinâmica em regime permanente. Isso se refere ao comportamento do sistema depois que as transientes morreram, ou seja, quando o sistema oscila com a mesma frequência da força aplicada .

Passo 3

Vamos assumir que o sistema pode ser representado por uma equação diferencial linear, típica em sistemas massa-mola-amortecedor. A forma geral da equação é:
onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é o deslocamento,
  • é a força aplicada.

Passo 4

No nosso caso, a força aplicada está na direção z:
Então, a equação para a direção z fica:

Passo 5

Para resolver essa equação em regime permanente, assumimos uma solução particular da forma:
onde é a amplitude da oscilação e é a fase.

Passo 6

Substituímos na equação diferencial:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes, temos:

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:

Passo 9

Resolvendo para a partir da segunda equação:
E a amplitude é:

Passo 10

Portanto, a resposta dinâmica do sistema em regime permanente na direção z é:
onde .

Resposta

A resposta dinâmica do sistema em regime permanente é:
com .

Exercícios relacionados

  1. Uma barra de aço está acoplada à uma barra de latão e o conjunto está instalado entre duas paredes, submetidos à uma temperatura . Determine as reações de apoio quando a temperatura for . As propriedades dos materiais e devidas áreas estão abaixo.
    Aço
    Latão
  1. Um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração com força de 8 kN . A amostra é uma barra com 17 mm de diâmetro, com comprimento de 190 mm . Durante o ensaio, observa-se um alongamento de 15 mm no seu comprimento e uma diminuição de no diâmetro, determine as seguintes propriedades do material:
    a) o módulo de elasticidade longitudinal (E);
    b) o módulo de elasticidade transversal (G);
    c) o coeficiente de Poisson do material (v).
Derive a equação de movimento para o sistema massa-mola e determine a solução geral para o deslocamento . O que representa a frequência natura ?
Uma placa de de espessura sofre uma redução sequencial para as seguintes espessuras (em mm): 0,5; 0,2; 0,1. Calcule a deformação linear no sentido da espessura da chapa em cada um dos três passes, utilizando:
a) Deformação de engenharia (deformação convencional)