Supondo um vetor de excitação F(t)=[Fx(t) ; Fy(t) ; Fz(t)]=[0 ; 0 ; F0 z cos (omega t)], obter a resposta dinâmica do sistema em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vetor de excitação que atua somente na direção z, dado por . Nosso objetivo é encontrar a resposta dinâmica do sistema em regime permanente. Para isso, vamos precisar entender de dinâmica de sistemas vibratórios e aplicar conceitos como equações diferenciais e resposta em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa resposta dinâmica em regime permanente. Isso se refere ao comportamento do sistema depois que as transientes morreram, ou seja, quando o sistema oscila com a mesma frequência da força aplicada .

Passo 3

Vamos assumir que o sistema pode ser representado por uma equação diferencial linear, típica em sistemas massa-mola-amortecedor. A forma geral da equação é:
m ddotx(t) + c dotx(t) + k x(t) = F(t)
onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é o deslocamento,
  • é a força aplicada.

Passo 4

No nosso caso, a força aplicada Fz(t) = F0z cos(omega t) está na direção z:
m ddotz(t) + c dotz(t) + k z(t) = F0z cos(omega t)
Então, a equação para a direção z fica:

Passo 5

Para resolver essa equação em regime permanente, assumimos uma solução particular da forma:
zp(t) = Z cos(omega t - phi)
onde é a amplitude da oscilação e é a fase.

Passo 6

Substituímos -m omega^2 Z cos(omega t - phi) - c omega Z sin(omega t - phi) + k Z cos(omega t - phi) = F0z cos(omega t) na equação diferencial:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes, temos:
Z [ (k - m omega^2) cos(omega t - phi) - c omega sin(omega t - phi) ] = F0z cos(omega t)

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo (k - m omega^2) Z cos(phi) - c omega Z sin(phi) = F0z , os coeficientes de (k - m omega^2) Z sin(phi) + c omega Z cos(phi) = 0 e devem ser iguais. Isso nos dá duas equações:

Passo 9

Resolvendo para tan(phi) = c omegak - m omega^2 a partir da segunda equação:
Z = F0zraiz(k - m omega^2)^2 + (c omega)^2
E a amplitude é:

Passo 10

Portanto, a resposta dinâmica do sistema em regime permanente na direção z é:
z(t) = F0zraiz(k - m omega^2)^2 + (c omega)^2 cos(omega t - phi)
onde .

Resposta

A resposta dinâmica do sistema em regime permanente é:
z(t) = F0zraiz(k - m omega^2)^2 + (c omega)^2 cos(omega t - phi)
com .

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