Derive a expressão para o potencial gravitacional devido a um bastão fino e uniforme de massa M e comprimento L em um ponto a distância d do centro do bastão sobre a linha axial do bastão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a expressão do potencial gravitacional gerado por um bastão fino e uniforme com massa total e comprimento . Esse potencial deve ser calculado em um ponto que está a uma distância do centro do bastão, alinhado na linha axial do bastão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitacional e cálculo, especialmente integração. Vamos ver como cada parte entra nessa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial gravitacional. Ele representa a energia potencial por unidade de massa em um ponto no campo gravitacional. A expressão geral para o potencial gravitacional V = -G mr devido a uma massa em uma distância é:
Onde é a constante gravitacional.

Passo 3

Como temos um bastão com massa distribuída ao longo de seu comprimento, precisamos considerar cada pedacinho do bastão como uma pequena massa lambda = ML . A ideia é somar (integrar) o potencial de todos esses pedacinhos para obter o potencial total no ponto desejado.
Primeiro, vamos definir a densidade linear de massa :
Isso porque o bastão é fino e uniforme, então a massa está distribuída de forma igual em todo o comprimento.

Passo 4

Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o bastão está alinhado no eixo r = d + x , com o centro no ponto . O ponto onde vamos calcular o potencial está na mesma linha, a uma distância do centro.
Para cada elemento no bastão, a distância até o ponto onde queremos calcular o potencial é:
Onde varia de a .

Passo 5

Agora, expressamos a pequena massa dm = lambda , dx = ML , dx em termos de dV = -G , dmr = -G , ML , dxd + x e :
Substituindo na expressão do potencial, temos:

Passo 6

Para encontrar o potencial total V = -G ML integral-L2^L2 dxd + x , integramos ao longo de todo o bastão:

Passo 7

Vamos resolver essa integral. A integral de integral dxd + x = ln|d + x| + C em relação a V = -G ML [ ln(d + L2) - ln(d - L2) ] é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Usando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar a expressão:
V = -G ML ln(d + L2d - L2)

Passo 9

Esse é o potencial gravitacional devido a um bastão fino e uniforme no ponto a distância do centro sobre a linha axial.

Resposta

A expressão do potencial gravitacional é:
V = -G ML ln(d + L2d - L2)

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