Derive a expressão para o potencial gravitacional devido a um bastão fino e uniforme de massa M e comprimento L em um ponto a distância
do centro do bastão sobre a linha axial do bastão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a expressão do potencial gravitacional gerado por um bastão fino e uniforme com massa total
e comprimento
. Esse potencial deve ser calculado em um ponto que está a uma distância
do centro do bastão, alinhado na linha axial do bastão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitacional e cálculo, especialmente integração. Vamos ver como cada parte entra nessa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial gravitacional. Ele representa a energia potencial por unidade de massa em um ponto no campo gravitacional. A expressão geral para o potencial gravitacional
devido a uma massa
em uma distância
é:
Onde
é a constante gravitacional.
Passo 3
Como temos um bastão com massa distribuída ao longo de seu comprimento, precisamos considerar cada pedacinho do bastão como uma pequena massa
. A ideia é somar (integrar) o potencial de todos esses pedacinhos para obter o potencial total no ponto desejado.
Primeiro, vamos definir a densidade linear de massa
:
Isso porque o bastão é fino e uniforme, então a massa está distribuída de forma igual em todo o comprimento.
Passo 4
Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o bastão está alinhado no eixo
, com o centro no ponto
. O ponto onde vamos calcular o potencial está na mesma linha, a uma distância
do centro.
Para cada elemento
no bastão, a distância até o ponto onde queremos calcular o potencial é:
Onde
varia de
a
.
Passo 5
Agora, expressamos a pequena massa
em termos de
e
:
Substituindo na expressão do potencial, temos:
Passo 6
Para encontrar o potencial total
, integramos
ao longo de todo o bastão:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Usando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar a expressão:
Passo 9
Esse é o potencial gravitacional devido a um bastão fino e uniforme no ponto a distância
do centro sobre a linha axial.
Resposta
A expressão do potencial gravitacional é: