and consider the linear combinations A X^(1) and B X^(2). Find
(b) E(A X^(1))
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com um vetor de médias mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância dada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa da combinação linear A X^(1), onde A = [1 2] e X^(1) = [X1, X2].
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias.
Passo 2
Lembrando da teoria, a expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das expectativas dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma combinação linear A X, então:
E(A X) = A E(X)
Isso significa que podemos calcular a expectativa simplesmente multiplicando o vetor de coeficientes A pelo vetor de médias E(X).
Passo 3
Vamos identificar o vetor de médias correspondente a X^(1). Dado que mux = [4, 3, 2, 1], a parte correspondente a X^(1) = [X1, X2] é:
E(X^(1)) = 4 3
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da expectativa de uma combinação linear: