You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] and variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] and B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
and consider the linear combinations A X^(1) and B X^(2). Find
(b) E(A X^(1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com um vetor de médias mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância dada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa da combinação linear A X^(1), onde A = [1 2] e X^(1) = [X1, X2].
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias.

Passo 2

Lembrando da teoria, a expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das expectativas dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma combinação linear A X, então:
E(A X) = A E(X)
Isso significa que podemos calcular a expectativa simplesmente multiplicando o vetor de coeficientes A pelo vetor de médias E(X).

Passo 3

Vamos identificar o vetor de médias correspondente a X^(1). Dado que mux = [4, 3, 2, 1], a parte correspondente a X^(1) = [X1, X2] é:
E(X^(1)) = 4 3

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da expectativa de uma combinação linear:
E(A X^(1)) = A E(X^(1)) = [1 2] 4 3
Vamos realizar a multiplicação:
1 times 4 + 2 times 3 = 4 + 6 = 10

Resposta

E(A X^(1)) = 10

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