You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório com um vetor de médias e uma matriz de variância-covariância dada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa da combinação linear , onde e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias.
Passo 2
Lembrando da teoria, a expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das expectativas dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma combinação linear , então:
Isso significa que podemos calcular a expectativa simplesmente multiplicando o vetor de coeficientes pelo vetor de médias .
Passo 3
Vamos identificar o vetor de médias correspondente a . Dado que , a parte correspondente a é:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da expectativa de uma combinação linear: