You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório com um vetor de médias e uma matriz de variância-covariância dada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa da combinação linear , onde e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias.

Passo 2

Lembrando da teoria, a expectativa de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das expectativas dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma combinação linear , então:
Isso significa que podemos calcular a expectativa simplesmente multiplicando o vetor de coeficientes pelo vetor de médias .

Passo 3

Vamos identificar o vetor de médias correspondente a . Dado que , a parte correspondente a é:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da expectativa de uma combinação linear:
Vamos realizar a multiplicação:

Resposta

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You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(h)
Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e .
(e)
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(i)
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(j)