Derive.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso faz parte do estudo de derivadas de funções compostas e quocientes na matemática. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e também precisaríamos saber a derivada da cotangente e da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função quociente, ou seja, uma função na forma de , é dada pela Regra do Quociente:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e .
  • Derivada de :
    Sabemos que , e sua derivada é:
    Onde é a função co-secante.
  • Derivada de :
    A derivada da função exponencial é ela mesma:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos cancelar um do numerador com um do denominador:

Passo 6

Então, a derivada final da função é:

Resposta

A derivada de é:

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Derive.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Determine a solução do problema: e ,
Derive.