Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente em séries de Taylor. Vamos precisar saber como montar o polinômio de Taylor e calcular seus termos até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos aproximar. Aqui, queremos aproximar em torno de um ponto próximo de 4,001. É mais fácil escolher como o ponto de expansão porque é próximo de 4,001 e a raiz quadrada de 4 é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas da função até a segunda ordem no ponto .
A primeira derivada:
Então, .
A segunda derivada:
Então, .

Passo 4

Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos usar esse polinômio para aproximar . Aqui, , então .
Substituindo na expressão:
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o erro da aproximação. O erro do polinômio de Taylor de ordem 2 é dado pelo termo de terceira ordem, mas para simplificar, vamos considerar o erro absoluto:
Onde está entre 4 e 4,001. A terceira derivada de é negativa e sua magnitude diminui com o aumento de , então podemos estimar:
Então,
Ou seja, o erro é muito pequeno, praticamente insignificante para essa aproximação.

Resposta

Aproximando usando o polinômio de Taylor de ordem 2, obtemos aproximadamente 2,00025 com um erro negligível.

Exercícios relacionados

Derive.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno de dado:
Derive.
Derive.