Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de
e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente em séries de Taylor. Vamos precisar saber como montar o polinômio de Taylor e calcular seus termos até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos aproximar. Aqui, queremos aproximar
em torno de um ponto próximo de 4,001. É mais fácil escolher
como o ponto de expansão porque é próximo de 4,001 e a raiz quadrada de 4 é fácil de calcular.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas da função
até a segunda ordem no ponto
.
A primeira derivada:
Então,
.
A segunda derivada:
Então,
.
Passo 4
Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos usar esse polinômio para aproximar
. Aqui,
, então
.
Substituindo na expressão:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o erro da aproximação. O erro do polinômio de Taylor de ordem 2 é dado pelo termo de terceira ordem, mas para simplificar, vamos considerar o erro absoluto:
Onde
está entre 4 e 4,001. A terceira derivada de
é negativa e sua magnitude diminui com o aumento de
, então podemos estimar:
Então,
Ou seja, o erro é muito pequeno, praticamente insignificante para essa aproximação.
Resposta
Aproximando
usando o polinômio de Taylor de ordem 2, obtemos aproximadamente 2,00025 com um erro negligível.
Exercícios relacionados
Derive.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno de
dado:
Derive.
Derive.