Determine a solução do problema:
e
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Resolvendo:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial,
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada:
. Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Agora, substituímos
:
Simplificando:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é:
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Derive.
Derive.
Derive.
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.