Determine a solução do problema: d^2x/dt^2 - 9x = 0, x(0) = 1 e x'(0) = -1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, a equação é , então e . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Resolvendo:
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial, . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada: . Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Agora, substituímos :
Simplificando:

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Agora, substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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