Derive: f(x) = (1 + sen(x)) / (x + 1) ^ 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e frações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função que está elevada à quinta potência. Podemos chamar essa parte de , onde:
Então, nossa função original fica .

Passo 3

Agora, para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é:
Neste caso, , então:

Passo 4

Precisamos agora encontrar , a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A derivada de é:

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