Derive.
f(x)=x 5^x^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a função f(x) = x cdot 5^x^2. A matéria aqui é cálculo diferencial, e a tarefa é encontrar a derivada da função. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são essenciais quando lidamos com multiplicações e funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto nos diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, como u(x) = x e v(x) = 5^x^2, a derivada é dada por:
f'(x) = u'v + uv'
onde u' = dudx e v' = dvdx.
Então, precisamos calcular as derivadas de u e v.
  1. Para u(x) = x, a derivada é u' = 1.
  2. Agora vamos calcular v(x) = 5^x^2. Para derivar essa função, precisamos usar a regra da cadeia. Primeiramente, vamos deixar 5 elevado a x^2. A derivada de 5^g(x) em relação a x é dada por:
v' = 5^g(x) cdot ln(5) cdot g'(x)
onde g(x) = x^2. Agora, vamos calcular g'(x):
g'(x) = 2x
Assim, a derivada de v fica:
v' = 5^x^2 cdot ln(5) cdot 2x

Passo 3

Agora que temos u', u, v', e v, vamos substituí-los na fórmula da regra do produto que encontramos no Passo 2:
f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = (1) cdot (5^x^2) + (x) cdot (5^x^2 cdot ln(5) cdot 2x)
Agora simplificando:
f'(x) = 5^x^2 + 2x^2 cdot ln(5) cdot 5^x^2
Podemos fatorar 5^x^2:
f'(x) = 5^x^2(1 + 2x^2 ln(5))

Resposta

A derivada da função f(x) = x cdot 5^x^2 é:
f'(x) = 5^x^2(1 + 2x^2 ln(5))

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