Suponha que
seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
Mostre que
em todo
no domínio de
com
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função
que é derivável e é dada pela equação implícita
O que queremos provar é que a derivada da função, ou seja,
, pode ser expressa pela fórmula
Para resolver isso, vamos usar a regra da diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de funções definidas implicitamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos derivar a equação dada em relação a
. Vamos aplicar a diferenciação em cada parte da equação. Lembrando que quando derivamos
em relação a
, precisamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de
em relação a
é
.
A equação dada é:
Ao diferenciá-la em relação a
, obtemos:
Vamos aplicar a regra do produto na parte
:
onde
Assim, a equação completa depois de derivar fica:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para encontrar
. Primeiro, juntamos os termos que possuem
:
Subtraímos
e
de ambos os lados:
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão que multiplicamos, que é
:
E lembrando que
, substituímos
por
:
Resposta
Portanto, conseguimos mostrar que a derivada da função é dada por
Exercícios relacionados
Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) .
a)
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Derive.
.