Suponha que y=f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
x y^2+y+x=1
Mostre que f^prime(x)=-1-[f(x)]^22 x f(x)+1 em todo x no domínio de f com 2 x f(x)+1 neq 0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função y = f(x) que é derivável e é dada pela equação implícita x y^2 + y + x = 1 O que queremos provar é que a derivada da função, ou seja, f'(x), pode ser expressa pela fórmula f'(x) = -1 - [f(x)]^22 x f(x) + 1 Para resolver isso, vamos usar a regra da diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de funções definidas implicitamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar a equação dada em relação a x. Vamos aplicar a diferenciação em cada parte da equação. Lembrando que quando derivamos y em relação a x, precisamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de y em relação a x é y' = dydx.
A equação dada é:
x y^2 + y + x = 1
Ao diferenciá-la em relação a x, obtemos:
ddx(x y^2) + ddx(y) + ddx(x) = ddx(1)
Vamos aplicar a regra do produto na parte x y^2:
ddx(x y^2) = y^2 + x cdot 2y cdot y',
onde y' é a derivada de y em relação a x.
Assim, a equação completa depois de derivar fica:
y^2 + 2xy y' + y' + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para encontrar y'. Primeiro, juntamos os termos que possuem y':
y^2 + y' (2xy + 1) + 1 = 0
Subtraímos y^2 e 1 de ambos os lados:
y' (2xy + 1) = -1 - y^2
Agora, para isolar y', dividimos ambos os lados pela expressão que multiplicamos, que é (2xy + 1):
y' = -1 - y^22xy + 1
E lembrando que y = f(x), substituímos y por f(x):
f'(x) = -1 - [f(x)]^22x f(x) + 1

Resposta

Portanto, conseguimos mostrar que a derivada da função é dada por f'(x) = -1 - [f(x)]^22x f(x) + 1

Exercícios relacionados

Expresse d yd x em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) x e^y+x y=3.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
f(x)=x^2+2 x-1 r: x+2 y-5=0.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=x^5-4 x^3-2, em a=1.
Derive.
f(x)=x 5^x^2.