Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=x^5-4 x^3-2, em a=1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^5 - 4x^3 - 2 no ponto a = 1. Para resolver, vamos precisar entender dois conceitos: a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente, e a fórmula da reta. A reta tangente passa pelo ponto que estamos estudando e tem a inclinação definida pela derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função f(x). A derivada, denotada por f'(x), é encontrada usando as regras de derivação. Para cada termo da função, aplicamos a regra que diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1.
Então, vamos calcular:
f'(x) = ddx(x^5) - ddx(4x^3) - ddx(2)
Calculando cada parte:
  • A derivada de x^5 é 5x^4.
  • A derivada de 4x^3 é 12x^2.
  • A derivada de uma constante (como -2) é 0.
Juntando tudo, temos:
f'(x) = 5x^4 - 12x^2

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos substituí-la por x = 1 para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde x = 1.
Então, calculamos:
f'(1) = 5(1)^4 - 12(1)^2 = 5 - 12 = -7
A inclinação da reta tangente nesse ponto é -7.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o ponto onde a reta tangente toca a curva, ou seja, precisamos calcular f(1) para descobrir a coordenada y desse ponto:
f(1) = (1)^5 - 4(1)^3 - 2 = 1 - 4 - 2 = -5
Então, o ponto onde a reta tangente toca a curva é (1, -5).

Passo 5

Agora que temos a inclinação e o ponto, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação, que é:
y - y1 = m(x - x1)
onde (x1, y1) é o ponto e m é a inclinação. Para a nossa reta tangente, temos:
  • x1 = 1
  • y1 = -5
  • m = -7
Substituindo na fórmula:
y - (-5) = -7(x - 1)
Simplificando isso:
y + 5 = -7x + 7
y = -7x + 7 - 5
y = -7x + 2

Resposta

Então, a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^5 - 4x^3 - 2 no ponto a = 1 é y = -7x + 2.

Exercícios relacionados

Suponha que y=f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
x y^2+y+x=1
Mostre que f^prime(x)=-1-[f(x)]^22 x f(x)+1 em todo x no domínio de f com 2 x f(x)+1 neq 0.
Expresse d yd x em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) x e^y+x y=3.
Derive.
f(x)=x 5^x^2.
Duas esferas isolantes têm raios de 0.3 cm e 0.5 cm , massas de 0.1 kg e 0.7 kg , e cargas uniformemente distribuídas de q 1=-1,73 e-06 C e q2=3,21e-06 C respectivamente. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por 1 m . Considerando que a distribuição de cargas das esferas permanecem inalteradas, com que rapidez a esfera de 0.1 kg estará se movendo quando as duas colidirem? Use k=9 times 10^9 N m^2 / C^2 e de a resposta em m / s.