Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para resolver, vamos precisar entender dois conceitos: a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente, e a fórmula da reta. A reta tangente passa pelo ponto que estamos estudando e tem a inclinação definida pela derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada, denotada por
, é encontrada usando as regras de derivação. Para cada termo da função, aplicamos a regra que diz que a derivada de
é
.
Então, vamos calcular:
Calculando cada parte:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante (como
) é .
Juntando tudo, temos:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos substituí-la por
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde
.
Então, calculamos:
A inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o ponto onde a reta tangente toca a curva, ou seja, precisamos calcular
para descobrir a coordenada
desse ponto:
Então, o ponto onde a reta tangente toca a curva é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação e o ponto, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação, que é:
onde
é o ponto e
é a inclinação. Para a nossa reta tangente, temos:
Substituindo na fórmula:
Simplificando isso:
Resposta
Então, a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
Mostre que
em todo
no domínio de
com
.
Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) .
a)
Derive.
.
Duas esferas isolantes têm raios de 0.3 cm e 0.5 cm , massas de 0.1 kg e 0.7 kg , e cargas uniformemente distribuídas de
C e q2=3,21e-06 C respectivamente. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por 1 m . Considerando que a distribuição de cargas das esferas permanecem inalteradas, com que rapidez a esfera de 0.1 kg estará se movendo quando as duas colidirem? Use
e de a resposta em
.