Derive.
f(x)=x^2+1raizx+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função f(x)=x^2+1raizx+1. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é bem simples: se você tem uma função na forma uv, a derivada é dada por f'(x) = u'v - uv'v^2. Então, primeiro, vamos identificar o que é u e v na nossa função.

Passo 2

Na função f(x)=x^2+1raizx+1, vamos definir:
  • u = x^2 + 1
  • v = raizx + 1
Agora, precisamos encontrar as derivadas u' e v'. Vamos começar:
  • Para u = x^2 + 1, a derivada u' é fácil: u' = 2x.
  • Para v = raizx + 1, vamos aplicar a regra da potência. Podemos escrever raizx + 1 como (x + 1)^1/2. Então, usando a regra da potência, temos v' = 12(x + 1)^-1/2 cdot 1 = 12raizx + 1.

Passo 3

Agora que já temos u, v, u' e v', vamos aplicar a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Substituindo tudo que encontramos:
f'(x) = (2x)(raizx + 1) - (x^2 + 1) (12raizx + 1)(raizx + 1)^2
A partir disso, vamos simplificar essa expressão. O denominador (raizx + 1)^2 é simplesmente x + 1.

Passo 4

Agora vamos simplificar o numerador:
f'(x) = 2xraizx + 1 - x^2 + 12raizx + 1x + 1
Para simplificar mais, vamos juntar as frações no numerador. Multiplicamos a primeira parte do numerador por 2raizx + 1 para que consigamos juntar tudo:
= (4x(x + 1) - (x^2 + 1))2(x + 1)raizx + 1
Simplificando o numerador:
= 4x^2 + 4x - x^2 - 12(x + 1)raizx + 1 = 3x^2 + 4x - 12(x + 1)raizx + 1

Resposta

Assim, a derivada da função f(x)=x^2+1raizx+1 é:
f'(x) = 3x^2 + 4x - 12(x + 1)raizx + 1

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