Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada
usando a derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica útil para lidar com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente, como é o caso aqui. Para isso, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (denotado por
) em ambos os lados da equação. Assim, podemos reescrever a função como:
Usando a propriedade do logaritmo, isso se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Quando derivamos a esquerda, usamos a regra da cadeia:
E para a direita, aplicamos a regra do produto, já que temos
. A derivada fica assim:
Calculando as derivadas, temos:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, substituímos tudo junto:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Multiplicamos ambos os lados pela função
:
Lembre-se que, no começo, nós definimos
, então não podemos esquecer de substituí-lo:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Exercícios relacionados
Derive.
.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
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Use a derivação logarítmica para determinar
:
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