Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(x+3)^x^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y=(x+3)^x^2 e precisamos encontrar a derivada d yd x usando a derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica útil para lidar com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente, como é o caso aqui. Para isso, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que log(a^b) = b cdot log(a).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (denotado por ln) em ambos os lados da equação. Assim, podemos reescrever a função como:
ln(y) = ln((x+3)^x^2)
Usando a propriedade do logaritmo, isso se transforma em:
ln(y) = x^2 cdot ln(x+3)

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Quando derivamos a esquerda, usamos a regra da cadeia:
1y cdot dydx
E para a direita, aplicamos a regra do produto, já que temos x^2 cdot ln(x+3). A derivada fica assim:
ddx(x^2 cdot ln(x+3)) = ddx(x^2) cdot ln(x+3) + x^2 cdot ddx(ln(x+3))
Calculando as derivadas, temos:
  1. A derivada de x^2 é 2x.
  2. A derivada de ln(x+3) é 1x+3.
Então, substituímos tudo junto:
dydx cdot 1y = 2x cdot ln(x+3) + x^2 cdot 1x+3

Passo 4

Agora, vamos isolar dydx. Multiplicamos ambos os lados pela função y:
dydx = y cdot (2x cdot ln(x+3) + x^2x+3)
Lembre-se que, no começo, nós definimos y = (x+3)^x^2, então não podemos esquecer de substituí-lo:
dydx = (x+3)^x^2 cdot (2x cdot ln(x+3) + x^2x+3)

Resposta

Portanto, a derivada d yd x é:
dydx = (x+3)^x^2 cdot (2x cdot ln(x+3) + x^2x+3)

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Derive.
f(x)=x^2+1raizx+1.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
4 x-3 x y^2+x^2 y=0, em p=(1,-1).
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^ln (x).
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(3 x+pi)^x^2.