Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^ln (x).

Passo 1

Vamos entender o enunciado primeiro. Temos a função y = x^ln(x). O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, d yd x. A matéria que estamos usando é cálculo, mais especificamente, a derivação logarítmica. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo para tornar a derivada mais fácil de encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Assim, teremos:
ln(y) = ln(x^ln(x))
Usando a propriedade do logaritmo que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos simplificar a equação para:
ln(y) = ln(x) cdot ln(x) = (ln(x))^2

Passo 3

Agora que temos ln(y) isolado, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se de que quando derivamos o lado esquerdo, devemos usar a regra da cadeia. Assim, a derivada de ln(y) em relação a x fica:
1y cdot d yd x
Para o lado direito, vamos derivar (ln(x))^2. Usando a regra da cadeia, obtemos:
ddx[(ln(x))^2] = 2 cdot ln(x) cdot ddx[ln(x)]
Sabemos que a derivada de ln(x) é 1x. Então, a derivada do lado direito fica:
2 cdot ln(x) cdot 1x = 2 ln(x)x
Assim, temos:
1y cdot d yd x = 2 ln(x)x

Passo 4

Agora, vamos isolar d yd x. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por y:
d yd x = y cdot 2 ln(x)x
Lembrando que y = x^ln(x), podemos substituir:
d yd x = x^ln(x) cdot 2 ln(x)x
Agora, simplificamos a fração:
d yd x = 2 ln(x) cdot x^ln(x) - 1

Resposta

Portanto, a derivada de y em relação a x é:
d yd x = 2 ln(x) cdot x^ln(x) - 1

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Derive.
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