Derive: f(x) = (2/x^2 - 1/x^4)(5x + 2x^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para derivar a função . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Vamos precisar aplicar essa regra para derivar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:

Passo 3

A regra do produto diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar :
Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
Ou, de forma mais amigável:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
Aplicando a regra do poder novamente:

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte separadamente:
Primeira parte:
Distribuindo:
Somando tudo:
Segunda parte:
Distribuindo:
Somando tudo:

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
Somando os termos semelhantes:
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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