Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir onde a função
está crescendo ou diminuindo, além de encontrar os pontos máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
. A derivada vai nos mostrar onde a função está crescendo ou diminuindo. Lembrando que, para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
:
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Para encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos analisar o sinal de
. Vamos resolver
:
Essa equação não tem uma solução algébrica fácil, então podemos analisar graficamente ou numericamente para encontrar os pontos onde a derivada muda de sinal.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Diferenciando
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 6
Derivando
:
Aplicamos a regra do produto novamente:
Derivando
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 7
Juntando as duas derivadas, temos:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, analisamos o sinal de
. Se
, a função é côncava para cima; se
, é côncava para baixo. Pontos onde
muda de sinal são pontos de inflexão.
Passo 9
Resumindo, para resolver o exercício:
- Encontramos a primeira derivada
para determinar onde a função está crescendo ou diminuindo. - Resolvemos
para encontrar possíveis pontos máximos e mínimos locais. - Encontramos a segunda derivada
para analisar a concavidade da função. - Resolvemos
para encontrar pontos de inflexão.
Devido à complexidade das equações envolvidas, muitas das análises finais (como resolver
e
) podem requerer métodos numéricos ou o uso de ferramentas gráficas.
Resposta
A função
é crescente e decrescente nos intervalos determinados pelas raízes de
. Possui valores máximos e mínimos locais nos pontos onde
, e apresenta concavidade para cima e para baixo nos intervalos definidos pelo sinal de
. Os pontos de inflexão ocorrem onde
. Devido à natureza das equações, recomenda-se o uso de métodos numéricos ou ferramentas gráficas para determinar os intervalos específicos e os valores exatos dos pontos críticos.
Exercícios relacionados
Ache a derivada implícita $\left(\frac{d y}{d x}\right)$ das seguintes funções:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25}$
$y^{3}=\frac{x-y}{x+y}$
$a \cos ^{2}(x+y)=b$
$\tan (y)=x y$
Encontre a derivada da função:
.
Seja
. Obtenha sua enésima derivada. Dica: faça as três primeiras derivadas e depois generalize.
Derive:
.