Seja
. Obtenha sua enésima derivada. Dica: faça as três primeiras derivadas e depois generalize.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a enésima derivada da função
. Isso significa que queremos derivar essa função várias vezes e descobrir uma fórmula geral para qualquer número de derivações. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra do produto para derivadas, e observar um padrão ao calcular as primeiras derivadas para depois generalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
- Derivada de
( ) é 1. - Derivada de
( ) é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada. Derivamos
novamente usando a regra do produto.
Aqui,
e
.
- Derivada de
( ) é . - Derivada de
( ) é 1.
Então,
Passo 4
Vamos para a terceira derivada, derivando
:
Aqui,
e
.
- Derivada de
( ) é . - Derivada de
( ) é 1.
Então,
Passo 5
Observando as derivadas calculadas:
Percebemos que a enésima derivada segue o padrão
.
Resposta
A enésima derivada de
é:
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Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Ache a derivada implícita $\left(\frac{d y}{d x}\right)$ das seguintes funções:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25}$
$y^{3}=\frac{x-y}{x+y}$
$a \cos ^{2}(x+y)=b$
$\tan (y)=x y$
Derive:
.
Sabendo-se que
e
, encontre