Derive:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos derivar essa função, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, além de lembrar das derivadas das funções trigonométricas como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão entrar na regra do quociente. A função
é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. A regra do quociente nos diz que se temos uma função
, a derivada dela é:
Então, vamos identificar
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
.
Para
, a derivada de 1 é 0, e a derivada de
é
. Então:
Para
, a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do quociente com as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, multiplique os termos no numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 6
Agora, o denominador é
.
Então, temos:
Passo 7
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Agora, vamos simplificar esses termos.
Passo 8
Lembrando que
, então
. E também,
.
Substituindo na expressão:
Simplificando as frações:
Passo 9
Sabemos que
, então substituímos:
Simplificando:
Passo 10
Podemos organizar os termos para facilitar:
Factorando
:
Passo 11
Simplificando ainda mais:
Podemos combinar os termos:
Passo 12
Lembrando que
, então:
Resposta
A derivada da função é:
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