Derive:
f(x) = (1 - sec(x)) / tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos derivar essa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, além de lembrar das derivadas das funções trigonométricas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão entrar na regra do quociente. A função é uma fração onde o numerador é e o denominador é . A regra do quociente nos diz que se temos uma função , a derivada dela é:
Então, vamos identificar e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e .
Para , a derivada de 1 é 0, e a derivada de é . Então:
Para , a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do quociente com as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplique os termos no numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Agora, o denominador é .
Então, temos:

Passo 7

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Agora, vamos simplificar esses termos.

Passo 8

Lembrando que , então . E também, .
Substituindo na expressão:
Simplificando as frações:

Passo 9

Sabemos que , então substituímos:
Simplificando:

Passo 10

Podemos organizar os termos para facilitar:
Factorando :

Passo 11

Simplificando ainda mais:
Podemos combinar os termos:

Passo 12

Lembrando que , então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Derive:
l(t) = t / (t - 1)^(2)
Derive:
f(x) = 3 * e^x + 4 / raiz(5)
Derive:
f(x) = tg(sen(x))
Derive:
g(x) = raiz(x + raiz(x + raiz(x)))