Derive.
f(x)=sen(sen x).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a função f(x) = sen(sen x) e precisamos encontrar a sua derivada. Esse exercício envolve o conceito de derivadas na matemática, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é uma maneira de derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Essa regra diz que se temos uma função dentro de outra, a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. No nosso caso, temos duas funções: a função externa é sen(u), onde u = sen x, e a função interna é u = sen x.
Para aplicar isso, precisamos derivar a função externa e a função interna separadamente.

Passo 3

Vamos começar pela derivada da função externa. A derivada de sen(u) em relação a u é cos(u). Agora, substituímos u de volta:
ddu[sen(u)] = cos(sen x)
Agora vamos derivar a função interna u = sen x. A derivada de sen x em relação a x é cos x:
ddx[sen x] = cos x

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos aplicar a regra da cadeia. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
ddx[f(x)] = ddu[sen(u)] cdot ddx[sen x]
Substituindo as derivadas que encontramos:
ddx[f(x)] = cos(sen x) cdot cos x

Resposta

Assim, a derivada da função f(x) = sen(sen x) é:
f'(x) = cos(sen x) cdot cos x

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