Derive.
y=x^2 e^-1 / x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para derivar a função y = x^2 e^-1/x. Esse é um problema de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto diz que se você tem duas funções sendo multiplicadas, a derivada é feita assim: (uv)' = u'v + uv', onde u e v são as funções que você está multiplicando. A regra da cadeia vai nos ajudar a derivar a parte e^-1/x.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossas funções aqui. Temos duas partes na função:
  • u = x^2
  • v = e^-1/x
Agora, vamos encontrar as derivadas de u e v.
A derivada de u = x^2 é bem simples:
u' = 2x
Agora, para derivar v = e^-1/x, vamos usar a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada de e^f é e^f cdot f'. Aqui, f = -1x, então precisamos primeiro encontrar a derivada de f.
A derivada de f = -1x é:
f' = 1x^2
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
v' = e^-1/x cdot (-1x^2) = -e^-1/xx^2

Passo 3

Agora que temos u', v, u, e v', vamos aplicar a regra do produto:
(uv)' = u'v + uv'
Substituindo tudo:
y' = (2x) cdot (e^-1/x) + (x^2) cdot (-e^-1/xx^2)
Simplificando:
y' = 2x e^-1/x - e^-1/x
Repare que x^2 no segundo termo se cancela:
y' = e^-1/x (2x - 1)

Resposta

A derivada de y = x^2 e^-1/x é:
y' = e^-1/x (2x - 1)

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