Derive: f(x) = sen^5(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente derivar a função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa função composta. Aqui, temos elevado à quinta potência. Pense nisso como uma função dentro da outra: temos a função seno e a função potência.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz como derivar funções compostas. A regra diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
  • A parte externa é , cuja derivada é .
  • A parte interna é , cuja derivada é (usando a derivada do seno e a constante 2).

Passo 5

Juntando tudo, temos:

Resposta

Simplificando os números, a derivada final é:

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