Derive:
r(theta) = cotg(sen(theta))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos derivar a função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação em funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas, como o seno () e a cotangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função significa encontrar a taxa de variação dessa função em relação a . No nosso caso, queremos encontrar .

Passo 3

Nossa função é . Vamos reescrever isso para facilitar a visualização das partes que vamos derivar:
Isso mostra que temos uma função composta: a cotangente de , tudo elevado ao quadrado.

Passo 4

Para derivar , onde , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.
A regra da cadeia diz que:

Passo 5

Vamos primeiro derivar . Sabemos que:
Para derivar isso, usamos a regra do poder. Se temos , então:
No nosso caso, e . Então:

Passo 6

Agora, precisamos derivar . Sabemos que a derivada de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos encontrar , onde . A derivada de é:

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Derive:
f(x) = raiz(x) * sen(x)
Derive:
m(r) = e^r + r^e
Derive:
f(x) = (2x + 1)^x
Encontre y' e y''.
y = ln(x) / x^2.