Derive.
.
Passo 1
Então, a questão pede para derivar a função
. A matéria aqui é cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda como as funções mudam. Para resolver essa derivada, vamos precisar da regra do quociente, que é usada para derivar frações, e também da regra do produto, já que temos um produto na parte de cima da fração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
A regra do quociente nos diz que a derivada de uma fração
é dada por:
Então, precisamos encontrar
(a derivada do numerador) e
(a derivada do denominador).
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso, usamos a regra do produto, já que
. A derivada do produto
é:
Aqui, temos
e
. Agora, precisamos das derivadas de
e
:
-
- Para
(usamos a regra da cadeia, já que a derivada de é , onde e )
Agora substituímos:
Passo 4
Agora vamos encontrar
. Temos
. A derivada de
é
, onde
.
Aqui, temos que , portanto:
Aqui, temos que
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, podemos aplicar a regra do quociente:
Agora, é só simplificar isso, mas para o nosso caso, vamos ficar com essa forma, pois a simplificação pode se tornar um pouco mais complexa e, para este exercício, a fórmula já é a resposta que procuramos.
Resposta
A derivada de
é:
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Derive.
.
Derive.
.
Calcule o limite, se existir.
Derive:
.