Derive.
.

Passo 1

Então, a questão pede para derivar a função . A matéria aqui é cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda como as funções mudam. Para resolver essa derivada, vamos precisar da regra do quociente, que é usada para derivar frações, e também da regra do produto, já que temos um produto na parte de cima da fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
A regra do quociente nos diz que a derivada de uma fração é dada por:
Então, precisamos encontrar (a derivada do numerador) e (a derivada do denominador).

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, usamos a regra do produto, já que . A derivada do produto é:
Aqui, temos e . Agora, precisamos das derivadas de e :
  • Para (usamos a regra da cadeia, já que a derivada de é , onde e )
Agora substituímos:

Passo 4

Agora vamos encontrar . Temos . A derivada de é , onde .
Aqui, temos que , portanto:

Passo 5

Agora que temos , , e , podemos aplicar a regra do quociente:
Agora, é só simplificar isso, mas para o nosso caso, vamos ficar com essa forma, pois a simplificação pode se tornar um pouco mais complexa e, para este exercício, a fórmula já é a resposta que procuramos.

Resposta

A derivada de é:

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Derive.
.
Derive.
.
Calcule o limite, se existir.
Derive:
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