Derive:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função \( f(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} \). Aqui estamos trabalhando com **Cálculo Diferencial**, especificamente com a **Regra do Quociente**, que usamos quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e saber derivar funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que formam o quociente. Vamos chamar:
- \( u(x) = e^{x} \) (a parte de cima)
- \( v(x) = x^{2} \) (a parte de baixo)
A regra do quociente nos diz que a derivada de \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) é dada por:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}
\]
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de \( u(x) \) e \( v(x) \):
1. **Derivada de \( u(x) = e^{x} \):**
A derivada de \( e^{x} \) é simplesmente \( e^{x} \). Então,
\[
u'(x) = e^{x}
\]
2. **Derivada de \( v(x) = x^{2} \):**
Usando a regra do poder, que diz que a derivada de \( x^{n} \) é \( n \cdot x^{n-1} \), temos:
\[
v'(x) = 2x
\]
Passo 4
Agora, vamos substituir \( u(x) \), \( v(x) \), \( u'(x) \) e \( v'(x) \) na fórmula da regra do quociente:
\[
f'(x) = \frac{e^{x} \cdot x^{2} - e^{x} \cdot 2x}{(x^{2})^{2}}
\]
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
1. No numerador:
\[
e^{x} \cdot x^{2} - e^{x} \cdot 2x = e^{x}(x^{2} - 2x)
\]
2. No denominador:
\[
(x^{2})^{2} = x^{4}
\]
Então, a derivada fica:
\[
f'(x) = \frac{e^{x}(x^{2} - 2x)}{x^{4}}
\]
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo no numerador por \( x^{4} \):
\[
f'(x) = e^{x} \left( \frac{x^{2}}{x^{4}} - \frac{2x}{x^{4}} \right) = e^{x} \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} \right)
\]
Resposta
A derivada da função \( f(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} \) é:
\[
f'(x) = e^{x} \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} \right)
\]
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