Derive:
f(x) = e^x / x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função \( f(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} \). Aqui estamos trabalhando com **Cálculo Diferencial**, especificamente com a **Regra do Quociente**, que usamos quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e saber derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que formam o quociente. Vamos chamar: - \( u(x) = e^{x} \) (a parte de cima) - \( v(x) = x^{2} \) (a parte de baixo) A regra do quociente nos diz que a derivada de \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} \]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de \( u(x) \) e \( v(x) \): 1. **Derivada de \( u(x) = e^{x} \):** A derivada de \( e^{x} \) é simplesmente \( e^{x} \). Então, \[ u'(x) = e^{x} \] 2. **Derivada de \( v(x) = x^{2} \):** Usando a regra do poder, que diz que a derivada de \( x^{n} \) é \( n \cdot x^{n-1} \), temos: \[ v'(x) = 2x \]

Passo 4

Agora, vamos substituir \( u(x) \), \( v(x) \), \( u'(x) \) e \( v'(x) \) na fórmula da regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{e^{x} \cdot x^{2} - e^{x} \cdot 2x}{(x^{2})^{2}} \]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo: 1. No numerador: \[ e^{x} \cdot x^{2} - e^{x} \cdot 2x = e^{x}(x^{2} - 2x) \] 2. No denominador: \[ (x^{2})^{2} = x^{4} \] Então, a derivada fica: \[ f'(x) = \frac{e^{x}(x^{2} - 2x)}{x^{4}} \] Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo no numerador por \( x^{4} \): \[ f'(x) = e^{x} \left( \frac{x^{2}}{x^{4}} - \frac{2x}{x^{4}} \right) = e^{x} \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} \right) \]

Resposta

A derivada da função \( f(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} \) é: \[ f'(x) = e^{x} \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} \right) \]

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