Encontre a derivada da função
pela definição.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas usando o limite. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pela definição e simplificar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação da função quando o intervalo de variação tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função. Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 5
Simplificando os termos semelhantes:
Podemos separar a fração em duas partes:
Passo 6
Simplificando cada parte:
- Para a primeira parte:
- Para a segunda parte, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por
:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes simplificadas:
Quando
tende a 0,
desaparece e
se torna
:
Resposta
A derivada da função é: