Encontre a derivada da função f(x) = x^2 + raiz(x) pela definição.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas usando o limite. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pela definição e simplificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando o intervalo de variação tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função. Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificando os termos semelhantes:
Podemos separar a fração em duas partes:

Passo 6

Simplificando cada parte:
  1. Para a primeira parte:
  1. Para a segunda parte, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por :

Passo 7

Agora, juntando as duas partes simplificadas:
Quando tende a 0, desaparece e se torna :

Resposta

A derivada da função é:

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