Derive a função f(x) = 2 x^2 / (9 - 5 x^3) e assinale a resposta correta.
(a) f'(x) = 2 x (18 + 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2. (b) f'(x) = 2(18 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
© f'(x) = x(36 - 5x^3) / (9 - 5x^3)^2.
(d) f'(x) = (36 - 10 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.
(e) f'(x) = 2 x (18 - 5 x^3) / (9 - 5 x^3)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Estamos trabalhando com derivação de funções que são frações, então vamos usar a Regra do Quociente. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se temos uma função , a derivada dela é dada por:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 4

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Somando essas duas partes:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar 2x no numerador:

Resposta

A derivada correta é a opção (a):

Exercícios relacionados

Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts) (raiz(x))'
Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x em R, tais que f(2) = g(2) e f'(x) < g'(x) para todo x no intervalo [1, 3]. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.
(a) f(x) ≥ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) <= g(x) quando x está em [2, 3].
(b) f(x) <= g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≥ g(x) quando x está em [2, 3].
© f(x) - g(x) é crescente em [1, 2] e decrescente em [2, 3].
(d) f(x) - g(x) é decrescente em [1, 2] e crescente em [2, 3].
(e) f(x) <= g(x) para todo x em [1, 3].
Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x 5 12 x-60x^3-125= square
Seja g(x) uma função derivável e considere a função h(x) = x^3 / g(x). Sabendo que 3 g(x) > x g'(x) no intervalo (0, infinito), o que sabemos sobre h(x) ?
(a) h(x) é crescente no intervalo (0, infinito).
(b) h(x) é decrescente no intervalo (0, infinito).
© h(x) atinge um valor máximo.
(d) h(x) atinge um valor mínimo.
(e) h(x) atinge um valor máximo e um valor mínimo.