Derive a função dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando regras para funções compostas e trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar o logaritmo natural e a função seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Parece que há uma multiplicação entre e . Mas para dar sentido, vou considerar que a função é , ou seja, o logaritmo natural de seno ao quadrado de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia nos diz que a derivada de é , onde é uma função de .

Passo 4

Identificamos . Precisamos então derivar em relação a . Sabemos que , e para derivar isso, usamos a regra do poder.

Passo 5

Derivando :
Aqui, a derivada de é .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia na função original:

Passo 7

Simplificamos a expressão:
Onde é a cotangente de .

Resposta

A derivada da função é:

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