Derive a função dada:
f(t) = tg(1 - t^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos derivar a função dada por:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra da cadeia, que é necessária quando temos funções compostas. Vamos precisar conhecer a derivada da função tangente e como aplicar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Vamos identificar as partes da nossa função composta. Temos:
  • A função externa: , onde .
  • A função interna: .
Para derivar f(t), precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Primeiro, derivamos a função externa . Sabemos que a derivada de em relação a u é:
Aqui, é a secante de u, e significa o quadrado da secante de u.

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a t:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo u de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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