Derive a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a regra do produto para derivadas. Para resolver, a gente vai precisar entender como aplicar essa regra e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja,
, a derivada dessa função é:
Isso significa que a gente precisa derivar cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Agora, vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas na nossa função . Vamos chamar:
Precisamos então derivar
e
individualmente.
Passo 4
Vamos derivar
:
E agora, derivar :
Essas são derivadas básicas das funções trigonométricas seno e cosseno.
Passo 5
Aplicando a regra do produto que vimos, substituímos as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos reorganizar para deixar mais claro:
Passo 7
Reconhecendo uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Portanto, a derivada da função
é
.
Resposta
A derivada da função é:
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se
. Escreva somente o número em sua resposta.
Derive: