Derive a função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a regra do produto para derivadas. Para resolver, a gente vai precisar entender como aplicar essa regra e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, , a derivada dessa função é:
Isso significa que a gente precisa derivar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Agora, vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas na nossa função . Vamos chamar:
Precisamos então derivar e individualmente.

Passo 4

Vamos derivar :
E agora, derivar :
Essas são derivadas básicas das funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 5

Aplicando a regra do produto que vimos, substituímos as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos reorganizar para deixar mais claro:

Passo 7

Reconhecendo uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Portanto, a derivada da função é .

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre se . Escreva somente o número em sua resposta.
Derive: