Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, para o valor de
indicado.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos calcular a sua derivada usando a definição de derivada. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
.
Passo 2
A definição de derivada é dada por:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 3
Calculamos
:
E
:
Passo 4
Substituindo na definição:
Passo 5
Agora que temos a derivada
, sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto
é 1.
Passo 6
Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos para a função
e
. Precisamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto
.
Passo 8
Aplicando a definição de derivada:
Substituímos
e
.
Passo 9
Calculamos
:
E
:
Passo 10
Substituindo na definição:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 11
Agora que temos
, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 12
Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 13
Vamos agora para a função
com
. Vamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto
.
Passo 14
Aplicando a definição de derivada:
Substituímos
e
.
Passo 15
Calculamos
:
E
:
Passo 16
Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:
Passo 17
Com
, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 18
Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:
Passo 19
Por fim, temos a função
e
. Vamos calcular a derivada usando a definição e encontrar a reta tangente no ponto
.
Passo 20
Aplicando a definição de derivada:
Substituímos
e
.
Passo 21
Calculamos
:
E
:
Passo 22
Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:
Passo 23
Com
, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 24
Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:
Resposta
A derivada de
é
. A equação da reta tangente no ponto
é
.
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Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto
. Qual é a interpretação geométrica do número
, quando ele existe?
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Derive a função