Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado.
(a) f(x) = x^2 - x + 1, a = 1
(b) f(x) = 1/x, a = -2
© f(x) = raiz(x), a = 4
(d) f(x) = 1 / raiz(x), a = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos calcular a sua derivada usando a definição de derivada. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto onde .

Passo 2

A definição de derivada é dada por:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 3

Calculamos :
E :

Passo 4

Substituindo na definição:

Passo 5

Agora que temos a derivada , sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 6

Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos para a função e . Precisamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 8

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 9

Calculamos :
E :

Passo 10

Substituindo na definição:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 11

Agora que temos , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 12

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 13

Vamos agora para a função com . Vamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 14

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 15

Calculamos :
E :

Passo 16

Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:

Passo 17

Com , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 18

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Passo 19

Por fim, temos a função e . Vamos calcular a derivada usando a definição e encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 20

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 21

Calculamos :
E :

Passo 22

Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:

Passo 23

Com , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 24

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Resposta

A derivada de é . A equação da reta tangente no ponto é .

Exercícios relacionados