Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado.
(a) f(x) = x^2 - x + 1, a = 1
(b) f(x) = 1/x, a = -2
© f(x) = raiz(x), a = 4
(d) f(x) = 1 / raiz(x), a = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos calcular a sua derivada usando a definição de derivada. Depois, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto onde .

Passo 2

A definição de derivada é dada por:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 3

Calculamos :
E :

Passo 4

Substituindo na definição:

Passo 5

Agora que temos a derivada , sabemos que a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 6

Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos para a função e . Precisamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 8

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 9

Calculamos :
E :

Passo 10

Substituindo na definição:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 11

Agora que temos , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 12

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 13

Vamos agora para a função com . Vamos calcular a derivada usando a definição e depois encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 14

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 15

Calculamos :
E :

Passo 16

Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:

Passo 17

Com , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 18

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Passo 19

Por fim, temos a função e . Vamos calcular a derivada usando a definição e encontrar a reta tangente no ponto .

Passo 20

Aplicando a definição de derivada:
Substituímos e .

Passo 21

Calculamos :
E :

Passo 22

Substituindo na definição:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Então:

Passo 23

Com , a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 24

Usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Resposta

A derivada de é . A equação da reta tangente no ponto é .

Exercícios relacionados

Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto x = a. Qual é a interpretação geométrica do número f'(a), quando ele existe?
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x +infty(1+1x)^x+5.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = (3 x^4 - 7 x^2)(5 x - 11)
(b) f(x) = (2x + 3) / (x^2 - 1)
© f(x) = raiz(x) / (x^2 - 2*x)
(d) f(x) = raiz(cube(x)) + 4/x
(e) f(x) = (4*x^3 - 5/x^3 + raiz(x)) * (3/x - 4*x + 6)
(f) f(x) = x |x|
Derive a função
sen(x y) = cos(x + y)