Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função definida pela equação
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções que envolvem variáveis dependentes e independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma equação envolvendo
e
, onde
é uma função de
. Isso significa que precisamos usar diferenciação implícita, pois
não está isolada.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Vamos derivar cada parte:
- Lado esquerdo: Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Agora, derivamos
usando a regra do quociente:
Então, o lado esquerdo fica:
- Lado direito: A derivada de
em relação a é:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Agora, vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada da função definida por
é: