Derive a função
e^(x / y) = x - y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função definida pela equação . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções que envolvem variáveis dependentes e independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma equação envolvendo e , onde é uma função de . Isso significa que precisamos usar diferenciação implícita, pois não está isolada.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  1. Lado esquerdo: Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Agora, derivamos usando a regra do quociente:
Então, o lado esquerdo fica:
  1. Lado direito: A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada da função definida por é:

Exercícios relacionados