Derive as funções abaixo. f(x) = ln(ln(ln(x)))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função . Neste problema, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia. Será necessário entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar: . Observamos que temos uma função logarítmica composta três vezes. Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.

Passo 3

A regra da cadeia diz que, para uma função composta , a derivada é . No nosso caso, temos três camadas de funções compostas, então aplicaremos a regra da cadeia sucessivamente.

Passo 4

Vamos definir cada camada da função para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada camada:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas das camadas:

Passo 7

Simplificando a expressão, obtemos:

Resposta

A derivada da função é:

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