Derive as funções abaixo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função
. Neste problema, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia. Será necessário entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
. Observamos que temos uma função logarítmica composta três vezes. Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.
Passo 3
A regra da cadeia diz que, para uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso, temos três camadas de funções compostas, então aplicaremos a regra da cadeia sucessivamente.
Passo 4
Vamos definir cada camada da função para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada camada:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas das camadas:
Passo 7
Simplificando a expressão, obtemos:
Resposta
A derivada da função é:
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Derive as funções abaixo.
Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse
no ponto genérico
é dada pela equação
Determine
de modo que a função
verifique a equação
.
Seja
a função dada implicitamente pela equação
. Suponha que
seja derivável. Mostre que