Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse
no ponto genérico é dada pela equação

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
Queremos encontrar a equação da reta tangente a essa elipse em um ponto qualquer usando derivação implícita. Para isso, vamos precisar entender derivadas e como aplicá-las em equações implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. É um método para encontrar a derivada de uma variável em relação a outra quando ambas estão misturadas em uma equação. No nosso caso, queremos derivar a equação da elipse em relação a para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação da elipse em relação a :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos resolver para , que é a derivada de em relação a :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A inclinação da tangente no ponto é então:

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da reta tangente no ponto , que tem a forma:
Substituindo pela inclinação que encontramos:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 8

Distribuindo os termos:

Passo 9

Reorganizando os termos:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por , que é igual a (pela equação da elipse original):

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto é:

Exercícios relacionados

Determine uma função que seja dada implicitamente pela equação .
Use a fórmula do exercício anterior para derivar as seguintes funções .
Derive as funções abaixo.
Derive as funções abaixo.