Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse
no ponto genérico
é dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
Queremos encontrar a equação da reta tangente a essa elipse em um ponto qualquer
usando derivação implícita. Para isso, vamos precisar entender derivadas e como aplicá-las em equações implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. É um método para encontrar a derivada de uma variável em relação a outra quando ambas estão misturadas em uma equação. No nosso caso, queremos derivar a equação da elipse em relação a
para encontrar a inclinação da tangente.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação da elipse em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
, que é a derivada de
em relação a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
A inclinação da tangente no ponto
é então:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da reta tangente no ponto
, que tem a forma:
Substituindo
pela inclinação que encontramos:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 8
Distribuindo os termos:
Passo 9
Reorganizando os termos:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
, que é igual a
(pela equação da elipse original):
Resposta
A equação da reta tangente à elipse no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine uma função
que seja dada implicitamente pela equação
.
Use a fórmula do exercício anterior para derivar as seguintes funções
.
Derive as funções abaixo.
Derive as funções abaixo.