Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
no ponto genérico (x0, y0) é dada pela equação
x0*x/a^2 + y0*y/b^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma elipse:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Queremos encontrar a equação da reta tangente a essa elipse em um ponto qualquer (x0, y0) usando derivação implícita. Para isso, vamos precisar entender derivadas e como aplicá-las em equações implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. É um método para encontrar a derivada de uma variável em relação a outra quando ambas estão misturadas em uma equação. No nosso caso, queremos derivar a equação da elipse em relação a x para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação da elipse em relação a x:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos resolver para , que é a derivada de y em relação a x:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A inclinação da tangente no ponto (x0, y0) é então:

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da reta tangente no ponto (x0, y0), que tem a forma:
Substituindo m pela inclinação que encontramos:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 8

Distribuindo os termos:

Passo 9

Reorganizando os termos:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por , que é igual a (pela equação da elipse original):

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto (x0, y0) é:
x0*x/a^2 + y0*y/b^2 = 1

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