Seja y = f(x) a função dada implicitamente pela equação y^3 + y = x. Suponha que f seja derivável. Mostre que f'(x) = 1 / (3(f(x))^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função , que está definida pela equação . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é útil quando a função não está facilmente isolada. Vamos precisar lembrar como derivar termos com variáveis dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a regra da cadeia quando derivamos termos que contêm .
Diferenciando cada termo:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados