Seja
a função dada implicitamente pela equação
. Suponha que
seja derivável. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente encontrar a derivada
da função
, que está definida pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é útil quando a função não está facilmente isolada. Vamos precisar lembrar como derivar termos com variáveis dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usamos a regra da cadeia quando derivamos termos que contêm
.
Diferenciando cada termo:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a equação derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, a derivada de
é: