Derive as funções abaixo: f(x) = e^x * (x + 1) / x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o que precisamos fazer é encontrar a derivada dela, ou seja, . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação que estudamos em cálculo, principalmente a regra do quociente e a regra do produto. A regra do quociente é útil quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de , como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na regra do quociente. Aqui:
  • Numerador:
  • Denominador:
Vamos precisar derivar tanto quanto separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador . A derivada de é simples:

Passo 5

Com as derivadas de e encontradas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, no numerador:
Então, o numerador fica:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então o numerador é:
E o denominador é:

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:
Podemos simplificar no numerador com um no denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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