Derive as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e o que precisamos fazer é encontrar a derivada dela, ou seja,
. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação que estudamos em cálculo, principalmente a regra do quociente e a regra do produto. A regra do quociente é útil quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de
, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na regra do quociente. Aqui:
- Numerador:
- Denominador:
Vamos precisar derivar tanto
quanto
separadamente.
Passo 3
Agora, vamos derivar o numerador
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
. A derivada de
é simples:
Passo 5
Com as derivadas de
e
encontradas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, no numerador:
Então, o numerador fica:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então o numerador é:
E o denominador é:
Passo 7
Agora, juntando tudo, temos:
Podemos simplificar
no numerador com um
no denominador:
Resposta
A derivada da função é: