Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
e derivar ela. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo, especificamente em funções e derivadas. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que fazem a função ser válida, ou seja, que não causam nenhuma operação impossível, como divisão por zero ou logaritmo de um número negativo.
Passo 3
Vamos analisar o denominador
. O logaritmo natural,
, só está definido para valores de
maiores que zero. Além disso, queremos evitar que o denominador seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos que
.
Passo 4
Quando
? Isso acontece quando
, porque
. Então, além de
, precisamos excluir
do domínio.
Passo 5
Resumindo, o domínio da função
é todos os números reais positivos exceto
.
Passo 6
Agora, vamos derivar a função
. Temos uma função que é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar. A Regra do Quociente diz que se temos
, a derivada é
.
Passo 7
Vamos identificar
e
. Agora, vamos derivar cada uma:
-
(usando a regra do poder) -
(derivada do logaritmo natural)
Passo 8
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 9
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Resposta
O domínio da função é
e
. A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Derive as funções abaixo:
Considerando as funções dadas abaixo, calcule:
se
, para
;