Indique os domínios das funções dadas e derive-as:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e derivar ela. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo, especificamente em funções e derivadas. Para isso, vamos precisar entender onde a função está definida e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de que fazem a função ser válida, ou seja, que não causam nenhuma operação impossível, como divisão por zero ou logaritmo de um número negativo.

Passo 3

Vamos analisar o denominador . O logaritmo natural, , só está definido para valores de maiores que zero. Além disso, queremos evitar que o denominador seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então, precisamos que .

Passo 4

Quando ? Isso acontece quando , porque . Então, além de , precisamos excluir do domínio.

Passo 5

Resumindo, o domínio da função é todos os números reais positivos exceto .

Passo 6

Agora, vamos derivar a função . Temos uma função que é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar. A Regra do Quociente diz que se temos , a derivada é .

Passo 7

Vamos identificar e . Agora, vamos derivar cada uma:
  • (usando a regra do poder)
  • (derivada do logaritmo natural)

Passo 8

Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 9

Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:

Resposta

O domínio da função é e . A derivada da função é:

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Derive as funções abaixo:
Considerando as funções dadas abaixo, calcule: se , para ;