Derive as funções
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função
. Isso envolve o conteúdo de derivação de funções compostas e funções exponenciais com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função tem a variável no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 5
Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto, que diz que
, onde
e
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 7
Substituindo essa derivada na equação anterior:
Passo 8
Agora, para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Por fim, lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: