Derive as funções
b) f(x) = cos(x)^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função . Isso envolve o conteúdo de derivação de funções compostas e funções exponenciais com expoentes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função tem a variável no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é :

Passo 5

Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto, que diz que , onde e :

Passo 6

Agora, vamos derivar . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 7

Substituindo essa derivada na equação anterior:

Passo 8

Agora, para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Por fim, lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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