Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções exponenciais e potenciais. Para resolver, podemos usar a derivação logarítmica, que facilita bastante quando temos expoentes que são funções complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos
, onde o expoente
é uma função que depende de
. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 3
Vamos chamar o expoente de
, ou seja,
. Assim, nossa função fica
. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
será a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, onde
. Para isso, vamos usar a derivação logarítmica. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz
.
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito, usamos a regra do produto para derivar
:
Passo 6
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Voltando à derivada de
, que é:
Podemos simplificar isso como:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Se
, encontre:
Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .