Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções exponenciais e potenciais. Para resolver, podemos usar a derivação logarítmica, que facilita bastante quando temos expoentes que são funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos , onde o expoente é uma função que depende de . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 3

Vamos chamar o expoente de , ou seja, . Assim, nossa função fica . A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a será a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , onde . Para isso, vamos usar a derivação logarítmica. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz .

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito, usamos a regra do produto para derivar :

Passo 6

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Voltando à derivada de , que é:
Podemos simplificar isso como:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Se , encontre:
Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .