Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a derivada de uma função, . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função original . Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a derivada que temos: . Perceba que essa expressão envolve termos como e , além de um fator . Isso sugere que vamos precisar integrar uma função que tem uma parte exponencial composta com .

Passo 3

Vamos tentar simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que pode ser considerado como uma função composta, onde o expoente é . Então, nos ajuda pensar em uma substituição que simplifique essa parte. Vamos definir:
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso é exatamente a parte que multiplica na nossa expressão original!

Passo 4

Com a substituição e , nossa derivada fica:
Agora, para encontrar , precisamos integrar em relação a :

Passo 5

Note que é uma integral direta em termos de . Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, obtemos:

Resposta

A função original é , onde é a constante de integração.

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Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)