Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica para simplificar a expressão e facilitar a diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar usando logaritmos. Lembrando que qualquer coisa elevada a uma potência pode ser transformada usando logaritmos para simplificar. Então, temos:
Isso é o mesmo que:
Mas para mantermos o uso de derivação logarítmica, vamos seguir com a forma original.
Passo 3
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, ficamos com:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 4
Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Então temos:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Substituindo
de volta na equação:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Nos exercícios 2. a 5. esboce o gráfico da função.
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)