Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica para simplificar a expressão e facilitar a diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar usando logaritmos. Lembrando que qualquer coisa elevada a uma potência pode ser transformada usando logaritmos para simplificar. Então, temos:
Isso é o mesmo que:
Mas para mantermos o uso de derivação logarítmica, vamos seguir com a forma original.

Passo 3

Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , ficamos com:
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 4

Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é , e a derivada de é . Então temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Substituindo de volta na equação:

Resposta

A derivada da função é:

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Nos exercícios 2. a 5. esboce o gráfico da função.
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