Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
f(x) = (sen x)^(arcsen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivação de funções compostas e exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a derivação logarítmica, que é super útil quando temos funções com variáveis tanto na base quanto no expoente. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar nossa vida:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Isso simplifica a derivação porque agora temos um produto de duas funções.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada do logaritmo de uma função é . Então:

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e :

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de :
Agora, a derivada de :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão anterior:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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