Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivação de funções compostas e exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a derivação logarítmica, que é super útil quando temos funções com variáveis tanto na base quanto no expoente. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar nossa vida:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Isso simplifica a derivação porque agora temos um produto de duas funções.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada do logaritmo de uma função é
. Então:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Agora, a derivada de
:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão anterior:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: