Derive as funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função é um quociente, ou seja, está dividida em duas partes:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente, que nos diz como encontrar a derivada de uma divisão de duas funções.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
  1. Derivada do denominador ( ):
  2. Derivada do numerador ( ):
    Aqui, usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o logaritmo natural:
    Onde . Então:

Passo 4

Aplicamos agora a regra do quociente, que é dada por:
Substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Multiplicamos por :
  2. Subtraímos :
  3. Colocamos tudo sobre :
Para deixar mais organizado, podemos escrever assim:
Ou simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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Resolva as equações diferenciais não homogêneas: e .
Resolva a equação diferencial com condição inicial: .