Derive as funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função é um quociente, ou seja, está dividida em duas partes:
- Numerador:
- Denominador:
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente, que nos diz como encontrar a derivada de uma divisão de duas funções.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
-
Derivada do denominador (
): -
Derivada do numerador (
): Aqui, usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o logaritmo natural:Onde. Então:
Passo 4
Aplicamos agora a regra do quociente, que é dada por:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
-
Multiplicamos
por : -
Subtraímos
: -
Colocamos tudo sobre
:
Para deixar mais organizado, podemos escrever assim:
Ou simplificando:
Resposta
A derivada da função
é:
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Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.