Derive as funções
j) f(x) = ln(e^x / (1 + e^x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Isso está no campo do Cálculo Diferencial, mais especificamente na derivação de funções que envolvem logaritmos e quocientes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que . Então, podemos reescrever assim:
Como , a função fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de é simples:
Então, precisamos derivar a segunda parte: .

Passo 4

Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Vamos calcular isso:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a derivada de é:
Podemos simplificar essa expressão combinando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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