Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado
b)
no ponto
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função dada pela equação
no ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas implícitas do cálculo diferencial para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Como a equação é implícita (ou seja,
está misturado com
), usamos a derivada implícita. Lembre-se que quando diferenciamos termos que têm
, multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
A equação é:
Vamos reescrever para facilitar a diferenciação:
Agora, diferenciando ambos os lados:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Calculando
:
Racionalizando o denominador:
Portanto:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
é:
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