Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto especificado
b) raiz(x y^3) = 1 + 2 x^2 y no ponto 1/2,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função dada pela equação no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas implícitas do cálculo diferencial para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Como a equação é implícita (ou seja, está misturado com ), usamos a derivada implícita. Lembre-se que quando diferenciamos termos que têm , multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
A equação é:
Vamos reescrever para facilitar a diferenciação:
Agora, diferenciando ambos os lados:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplique ambos os lados por para eliminar o denominador:
Isolando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão de :
Simplificando:
Calculando :
Racionalizando o denominador:
Portanto:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto é:

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