Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
k) ( ) Se f'(c) > 0 então f(x) é crescente na vizinhança de x = c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A questão está pedindo para a gente dizer se a afirmação "Se então é crescente na vizinhança de " é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender sobre derivadas e como elas indicam o comportamento das funções em determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a derivada . A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se , isso indica que a função está subindo naquele ponto.

Passo 3

Agora, para dizer se a função é crescente na vizinhança de , precisamos ver o que acontece com os valores de ao redor de . Se a derivada for positiva em todos esses pontos próximos, isso significa que a função está subindo continuamente nesse intervalo, ou seja, é crescente.

Passo 4

Como e assumindo que a derivada é contínua nesse ponto, podemos afirmar que existe um intervalo ao redor de onde permanece positivo. Portanto, vai continuar aumentando nesse intervalo.

Resposta

Verdadeiro. Se , então existe uma vizinhança ao redor de onde a função é crescente.

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