Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, usando principalmente a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia. Nosso objetivo é encontrar a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra do Quociente. Ela serve para derivar funções que são divididas, ou seja, na forma
. A fórmula da derivada fica:
Aqui,
e
. Precisamos derivar
e
separadamente.
Passo 3
Vamos derivar
usando a Regra da Cadeia. A regra diz que se temos uma função composta, derivamos a função externa e depois multiplicamos pela derivada da função interna.
Primeiro, derivamos a parte externa
:
A derivada de
é 3, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
também usando a Regra da Cadeia.
Derivamos a parte externa
:
A derivada de
é
, então:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador. Primeiro, distribua os termos:
Fatorando
:
Calculando dentro dos colchetes:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos simplificar cancelando
do numerador e denominador:
Resposta
A derivada da função é