Derive as funções seguintes usando as regras estudadas. Simplifique sua resposta. y = (3x + 1)^3 / (1 - 3x)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, usando principalmente a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia. Nosso objetivo é encontrar a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra do Quociente. Ela serve para derivar funções que são divididas, ou seja, na forma . A fórmula da derivada fica:
Aqui, e . Precisamos derivar e separadamente.

Passo 3

Vamos derivar usando a Regra da Cadeia. A regra diz que se temos uma função composta, derivamos a função externa e depois multiplicamos pela derivada da função interna.
Primeiro, derivamos a parte externa :
A derivada de é 3, então:

Passo 4

Agora, vamos derivar também usando a Regra da Cadeia.
Derivamos a parte externa :
A derivada de é , então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador. Primeiro, distribua os termos:
Fatorando :
Calculando dentro dos colchetes:
Então, o numerador fica:

Passo 7

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos simplificar cancelando do numerador e denominador:

Resposta

A derivada da função é

Exercícios relacionados